設a為實數,函數f(x)=x|x﹣a|.(1)討論f(x)的奇偶*;(2)當0≤x≤1時,求f(x)的最大值.
問題詳情:
設a為實數,函數f(x)=x|x﹣a|.
(1)討論f(x)的奇偶*;
(2)當0≤x≤1時,求f(x)的最大值.
【回答】
【考點】函數的最值及其幾何意義.
【專題】函數的*質及應用.
【分析】(1)討論a=0時與a≠0時的奇偶*,然後定義定義進行*即可;
(2)討論當a≤0和a>0時,求出函數f(x)=x|x﹣a|的表達式,即可求出在區間[0,1]上的最大值.
【解答】解:(1)由題意可知函數f(x)的定義域為R.
當a=0時f(x)=x|x﹣a|=x|x|,為奇函數.
當a≠0時,f(x)=x|x﹣a|,
f(1)=|1﹣a|,f(﹣1)=﹣|1+a|,
f(﹣x)≠f(x)且f(﹣x)≠﹣f(x),
∴此時函數f(x)為非奇非偶函數.
(2)若a≤0,則函數f(x)=x|x﹣a|在0≤x≤1上為增函數,
∴函數f(x)的最大值為f(1)=|1﹣a|=1﹣a,
若a>0,由題意可得f(x)=,
由於a>0且0≤x≤1,結合函數f(x)的圖象可知,
由,
當,即a≥2時,f(x)在[0,1]上單調遞增,
∴f(x)的最大值為f(1)=a﹣1;
當,
即時,f(x)在[0,]上遞增,在[,a]上遞減,
∴f(x)的最大值為f()=;
當,即時,
f(x)在[0,]上遞增,在[,a]上遞減,在[a,1]上遞增,
∴f(x)的最大值為f(1)=1﹣a.
【點評】本題主要考查函數奇偶*的判斷,以及分段函數的最值的求法,考查學生的運算能力.
知識點:*與函數的概念
題型:解答題