已知f(x)是定義域為R的奇函數,且當x>0時,f(x)=2x.(1)求函數f(x)的解析式及其值域;(2)設...
問題詳情:
已知f(x)是定義域為R的奇函數,且當x>0時,f(x)=2x.
(1)求函數f(x)的解析式及其值域;
(2)設x0是方程f(x)=4﹣x的解,且x0∈(n,n+1),n∈Z,求n的值;
(3)若存在x≥1,使得(a+x)f(x)<1成立,求實數a的取值範圍.
【回答】
顯然x=0不是方程f(x)=4﹣x的解.
當x<0時,g(x)=﹣2﹣x+x﹣4<0,
∴方程f(x)=4﹣x無負數解
當x>0時,g(x)=2x+x﹣4單調遞增,所以函數g(x)至多有一個零點
又g(1)=﹣1<0,g(2)=2>0,由零點存在*原理知g(x)在區間(1,2)上至少有一個零
故g(x)的惟一零點,即方程f(x)=4﹣x的惟一解x0∈(1,2).
所以,由題意,n=1
(3)設h(x)=2﹣x﹣x,則h(x)在11,+∞)上遞減.
∴
當x≥1時,f(x)=2x,不等式(a+x)f(x)<1,即a<2﹣x﹣x.
∴當時,存在x≥1,使得a<2﹣x﹣x成立,
即關於x的不等式(a+x)f(x)<1有不小於1的解
考點:函數奇偶*的*質;函數解析式的求解及常用方法.
知識點:不等式
題型:解答題