在平面直角座標系xOy中,點P的座標爲(x1,y1),點Q的座標爲(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,若...
問題詳情:
在平面直角座標系xOy中,點P的座標爲(x1,y1),點Q的座標爲(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,若P,Q爲某個矩形的兩個頂點,且該矩形的邊均與某條座標軸垂直,則稱該矩形爲點P,Q的“相關矩形”,如圖爲點P,Q的“相關矩形”示意圖.
(1)已知點A的座標爲(1,0),
①若點B的座標爲(3,1),求點A,B的“相關矩形”的面積;
②點C在直線x=3上,若點A,C的“相關矩形”爲正方形,求直線AC的表達式;
(2)⊙O的半徑爲,點M的座標爲(m,3),若在⊙O上存在一點N,使得點M,N的“相關矩形”爲正方形,求m的取值範圍.
【回答】
解:(1)①∵A(1,0),B(3,1)
由定義可知:點A,B的“相關矩形”的底與高分別爲2和1,
∴點A,B的“相關矩形”的面積爲2×1=2;
②由定義可知:AC是點A,C的“相關矩形”的對角線,
又∵點A,C的“相關矩形”爲正方形
∴直線AC與x軸的夾角爲45°,
設直線AC的解析爲:y=x+m或y=-x+n
把(1,0)分別y=x+m,
∴m=-1,
∴直線AC的解析爲:y=x-1,
把(1,0)代入y=-x+n,
∴n=1,
∴y=-x+1,
綜上所述,若點A,C的“相關矩形”爲正方形,直線AC的表達式爲y=x-1或y=-x+1;
(2)設直線MN的解析式爲y=kx+b,
∵點M,N的“相關矩形”爲正方形,
∴由定義可知:直線MN與x軸的夾角爲45°,
∴k=±1,
∵點N在⊙O上,
∴當直線MN與⊙O有交點時,點M,N的“相關矩形”爲正方形,
當k=1時,
作⊙O的切線AD和BC,且與直線MN平行,
其中A、C爲⊙O的切點,直線AD與y軸交於點D,直線BC與y軸交於點B,
連接OA,OC,
把M(m,3)代入y=x+b,
∴b=3-m,
∴直線MN的解析式爲:y=x+3-m
∵∠ADO=45°,∠OAD=90°,
∴OD=OA=2,
∴D(0,2)
同理可得:B(0,-2),
∴令x=0代入y=x+3-m,
∴y=3-m,
∴-2≤3-m≤2,
∴1≤m≤5,
當k=-1時,把M(m,3)代入y=-x+b,
∴b=3+m,
∴直線MN的解析式爲:y=x+3+m,
同理可得:-2≤3+m≤2,
∴-5≤m≤-1;
綜上所述,當點M,N的“相關矩形”爲正方形時,m的取值範圍是:1≤m≤5或-5≤m≤-1
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:綜合題