如圖1,△AOB的三個頂點A、O、B分別落在拋物線F1:y=x2+x的圖象上,點A的橫座標爲﹣4,點B的縱座標...
問題詳情:
如圖1,△AOB的三個頂點A、O、B分別落在拋物線F1:y=x2+x的圖象上,點A的橫座標爲﹣4,點B的縱座標爲﹣2.(點A在點B的左側)
(1)求點A、B的座標;
(2)將△AOB繞點O逆時針旋轉90°得到△A'OB',拋物線F2:y=ax2+bx+4經過A'、B'兩點,已知點M爲拋物線F2的對稱軸上一定點,且點A'恰好在以OM爲直徑的圓上,連接OM、A'M,求△OA'M的面積;
(3)如圖2,延長OB'交拋物線F2於點C,連接A'C,在座標軸上是否存在點D,使得以A、O、D爲頂點的三角形與△OA'C相似.若存在,請求出點D的座標;若不存在,請說明理由.
【回答】
解:(1)當x=﹣4時,y=×(﹣4)2+×(﹣4)=﹣4
∴點A座標爲(﹣4,﹣4)
當y=﹣2時,x2+x=﹣2
解得:x1=﹣1,x2=﹣6
∵點A在點B的左側
∴點B座標爲(﹣1,﹣2)
(2)如圖1,過點B作BE⊥x軸於點E,過點B'作B'G⊥x軸於點G
∴∠BEO=∠OGB'=90°,OE=1,BE=2
∵將△AOB繞點O逆時針旋轉90°得到△A'OB'
∴OB=OB',∠BOB'=90°
∴∠BOE+∠B'OG=∠BOE+∠OBE=90°
∴∠B'OG=∠OBE
在△B'OG與△OBE中
∴△B'OG≌△OBE(AAS)
∴OG=BE=2,B'G=OE=1
∵點B'在第四象限
∴B'(2,﹣1)
同理可求得:A'(4,﹣4)
∴OA=OA'=
∵拋物線F2:y=ax2+bx+4經過點A'、B'
∴ 解得:
∴拋物線F2解析式爲:y=x2﹣3x+4
∴對稱軸爲直線:x=﹣=6
∵點M在直線x=6上,設M(6,m)
∴OM2=62+m2,A'M2=(6﹣4)2+(m+4)2=m2+8m+20
∵點A'在以OM爲直徑的圓上
∴∠OA'M=90°
∴OA'2+A'M2=OM2
∴(4)2+m2+8m+20=36+m2
解得:m=﹣2
∴A'M=
∴S△OA'M=OA'•A'M==8
(3)在座標軸上存在點D,使得以A、O、D爲頂點的三角形與△OA'C相似.
∵B'(2,﹣1)
∴直線OB'解析式爲y=﹣x
解得:(即爲點B')
∴C(8,﹣4)
∵A'(4,﹣4)
∴A'C∥x軸,A'C=4
∴∠OA'C=135°
∴∠A'OC<45°,∠A'CO<45°
∵A(﹣4,﹣4),即直線OA與x軸夾角爲45°
∴當點D在x軸負半軸或y軸負半軸時,∠AOD=45°,此時△AOD不可能與△OA'C相似
∴點D在x軸正半軸或y軸正半軸時,∠AOD=∠OA'C=135°(如圖2、圖3)
①若△AOD∽△OA'C,則=1
∴OD=A'C=4
∴D(4,0)或(0,4)
②若△DOA∽△OA'C,則
∴OD=OA'=8
∴D(8,0)或(0,8)
綜上所述,點D座標爲(4,0)、(8,0)、(0,4)或(0,8)時,以A、O、D爲頂點的三角形與△OA'C相似.
知識點:各地中考
題型:綜合題