在如圖所示的空間幾何體中,平面平面,與是邊長爲的等邊三角形,,和平面所成的角爲,且點在平面上的*影落在的平分線...
問題詳情:
在如圖所示的空間幾何體中,平面平面, 與是邊長爲的等邊三角形,,和平面所成的角爲,且點在平面上的*影落在的平分線上.
(1)求*:平面;
(2)求二面角的餘弦值.
【回答】
解:(1)由題意知,,都是邊長爲2的等邊三角形,取中點,連接,則,,……………………2分
又∵平面⊥平面,∴⊥平面,作⊥平面,
那麼,根據題意,點落在上,
∴,易求得,…………4分
∴四邊形是平行四邊形,∴,∴平面 …………6分
(2)解法一:作,垂足爲,連接,
∵⊥平面,∴,又,
∴平面,∴,
∴就是二面角的平面角.…………9分
中,,,.
∴.即二面角的餘弦值爲.………12分
解法二:建立如圖所示的空間直角座標系,可知平面的一個法向量爲 ………………7分
設平面的一個法向量爲
則,可求得. ………………9分
所以, ………………11分
又由圖知,所求二面角的平面角是銳角,
所以二面角的餘弦值爲. ………………12分
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題