在底面是正方形的四棱錐中,,,點在上,且.（Ⅰ）求*:平面;（Ⅱ）求二面角的餘弦值.
問題詳情：
在底面是正方形的四棱錐
中,
,
,點
在
上,且
.
（Ⅰ）求*:
平面
;
（Ⅱ）求二面角
的餘弦值.
【回答】
（1）見解析；（2）
.
【解析】
試題分析：（Ⅰ）易*
，
，從而可*
平面
；
（Ⅱ）以A爲座標原點，直線
分別x軸、y軸、z軸，建立空間直角座標系，求得平面ACE的法向量爲
，及平面ACD的法向量
，由法向量夾角公式求解即可.
試題解析：
(1)正方形ABCD邊長爲1,PA=1,
，
所以
，即
，
根據直線和平面垂直的判定定理，有
平面
.
(2)如圖，以A爲座標原點，直線
分別x軸、y軸、z軸，建立空間直角座標系.
則
，
由(1)知
爲平面ACD的法向量,
，
設平面ACE的法向量爲
，
則
令
,則
,
設二面角
的平面角爲
,則
=
，
又有圖可知，
爲銳角，
故所求二面角的餘弦值爲
.
點睛：用空間向量求解立體幾何問題的注意點
（1）建立座標系時要確保條件具備，即要*得到兩兩垂直的三條直線，建系後要準確求得所需點的座標．
（2）用平面的法向量求二面角的大小時，要注意向量的夾角與二面角大小間的關係，這點需要透過觀察圖形來判斷二面角是銳角還是鈍角，然後作出正確的結論．
知識點：點 直線 平面之間的位置
題型：解答題
