已知拋物線C：x2=−2py經過點（2，−1）．（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準線方程；（Ⅱ）設O爲原點，過拋物線...
問題詳情：
已知拋物線C：x2=−2py經過點（2，−1）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準線方程；
（Ⅱ）設O爲原點，過拋物線C的焦點作斜率不爲0的直線l交拋物線C於兩點M，N，直線y=−1分別交直線OM，ON於點A和點B.求*：以AB爲直徑的圓經過y軸上的兩個定點．
【回答】
(Ⅰ) 
，
；
(Ⅱ)見解析.
【分析】
(Ⅰ)由題意結合點的座標可得拋物線方程，進一步可得準線方程；
(Ⅱ)聯立準線方程和拋物線方程，結合韋達定理可得圓心座標和圓的半徑，從而確定圓的方程，最後令x=0即可*得題中的結論.
【詳解】
(Ⅰ)將點
代入拋物線方程：
可得：
，
故拋物線方程爲：
，其準線方程爲：
.
(Ⅱ)很明顯直線
的斜率存在，焦點座標爲
，
設直線方程爲
，與拋物線方程
聯立可得：
.
故：
.
設
，則
，
直線
的方程爲
，與
聯立可得：
，同理可得
，
易知以AB爲直徑的圓的圓心座標爲：
，圓的半徑爲：
，
且：
，
，
則圓的方程爲：
，
令
整理可得：
，解得：
，
即以AB爲直徑的圓經過y軸上的兩個定點
.
【點睛】
本題主要考查拋物線方程的求解與準線方程的確定，直線與拋物線的位置關係，圓的方程的求解及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
