.已知函數f(x)=x3+bx2+cx+d的圖象經過點P(0,2),且在點M(-1,f(-1))處的切線方程爲...
問題詳情:
.已知函數f(x)=x3+bx2+cx+d的圖象經過點P(0,2),且在點M(-1,f(-1))處的切線方程爲6x-y+7=0.
(1)求函數y=f(x)的解析式;
(2)求函數y=f(x)的單調區間.
【回答】
(1);(2)與爲的增區間;爲函數的減區間.
【解析】
分析:(1)求出導函數,題意說明,,,由此可求得;
(2)解不等式得增區間,解不等式得減區間.
詳解:(1)∵f(x)的圖象經過P(0,2),∴d=2,
∴f(x)=x3+bx2+ax+2,f'(x)=3x2+2bx+a.
∵點M(﹣1,f(﹣1))處的切線方程爲6x﹣y+7=0
∴f'(x)|x=﹣1=3x2+2bx+a|x=﹣1=3﹣2b+a=6①,
還可以得到,f(﹣1)=y=1,即點M(﹣1,1)滿足f(x)方程,得到﹣1+b﹣a+2=1②
由①、②聯立得b=a=﹣3 故所求的解析式是f(x)=x3﹣3x2﹣3x+2.
(2)f'(x)=3x2﹣6x﹣3.令3x2﹣6x﹣3=0,即x2﹣2x﹣1=0.解得x1=1- ,x2=1+.
當x<1-,或x>1+時,f'(x)>0;當1-<x<1+時,f'(x)<0.
故f(x)的單調增區間爲(﹣∞,1﹣),(1+,+∞);單調減區間爲(1﹣,1+)
點睛:(1)過曲線上一點處的切線方程是;(2)不等式解集區間是函數的增區間,不等式的解集區間是的減區間.
知識點:導數及其應用
題型:解答題