如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,以AD爲直徑作⊙O,連接BO並延長至點E,使得OE=OB...
問題詳情:
如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,以AD爲直徑作⊙O,連接BO並延長至點E,使得OE=OB,交⊙O於點F,連接AE,CE.
(1)求*:AE是⊙O的切線;
(2)求*:四邊形ADCE是矩形;
(3)若BD=AD=4,求*影部分的面積.
【回答】
【考點】MR:圓的綜合題.
【分析】(1)利用等腰三角形的三線合一的*質,得出∠ODB=90°,從而得出△BOD≌△EOA,得出∠OAE=∠ODB=90°,即可;
(2)利用(1)△BOD≌△EOA和三角形的中線得出結論;
(3)先判斷出AE=OA=4,*影部分面積用三角形OAE的面積減去扇形OAF的面積即可.
【解答】解:(1)*:∵AB=AC,AD是BC邊上的中線,
∴∠ODB=90°,
在△BOD和△EOA中,
,
∴△BOD≌△EOA,
∴∠OAE=∠ODB=90°,
∵點A在圓上,
∴AE是⊙O的切線;
(2)由(1)知,△BOD≌△EOA,
∴BD=AE,
∵AD是BC邊上的中線,
∴CD=BD,
∴AE=CD,
∵∠OAE=∠ODB=90°,
∴AE∥BC,
∴四邊形ADCE是平行四邊形
∵∠OAE=90°,
∴平行四邊形ADCE是矩形;
(3)∵∠ODB=90°,BD=OD,
∴∠BOD=45°,
∴∠AOE=45°
∵∠OAE=90°,
∴AE=OA=AD=4
∴S△OAE=×OA×AE=×4×4=8,
S扇形OAF=π×42×=2π,
∴S*影部分=S△OAE﹣S扇形OAF=8﹣2π.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:綜合題