如圖，在直三棱柱中，，，點爲的中點，點爲上一動點.（1）是否存在一點，使得線段平面？若存在，指出點的位置，若不...

問題詳情：

如圖，在直三棱柱中，，，點爲的中點，點爲上一動點.

（1）是否存在一點，使得線段平面？若存在，指出點的位置，若不存在，請說明理由.

（2）若點爲的中點且，求二面角的正弦值.

【回答】

（1）存在點，且爲的中點.

*如下：

如圖，連接，，點，分別爲，的中點，

所以爲的一條中位線，，

平面，平面，所以平面.

（2）設，則，，

，

由，得，解得.

由題意以點爲座標原點，爲軸，爲軸，爲軸建立如圖所示的空間直角座標系，可得，，，，

故，，，，.

設爲平面的一個法向量，則

得

令，得平面的一個法向量，

同理可得平面的一個法向量爲，

故二面角的餘弦值爲.

故二面角的正弦值爲.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題