設f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸相交於點（...

問題詳情：

設f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸相交於點（0，6）．

（1）確定a的值；

（2）求函數f（x）的單調區間與極值．

【回答】

【考點】6B：利用導數研究函數的單調*；6C：函數在某點取得極值的條件；6H：利用導數研究曲線上某點切線方程．

【分析】（1）先由所給函數的表達式，求導數fˊ（x），再根據導數的幾何意義求出切線的斜率，最後由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸相交於點（0，6）列出方程求a的值即可；

（2）由（1）求出的原函數及其導函數，求出導函數的零點，把函數的定義域分段，判斷導函數在各段內的符號，從而得到原函數的單調區間，根據在各區間內的單調*求出極值點，把極值點的橫座標代入函數解析式求得函數的極值．

【解答】解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），

令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，

∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程爲y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），

由切線與y軸相交於點（0，6）．

∴6﹣16a=8a﹣6，

∴a=．

（2）由（I）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），

f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，

當0＜x＜2或x＞3時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上爲增函數，

當2＜x＜3時，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上爲減函數，

故f（x）在x=2時取得極大值f（2）=+6ln2，在x=3時取得極小值f（3）=2+6ln3．

知識點：導數及其應用

題型：解答題