如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交於A、B兩點,B點座標爲(4,0),與y軸交於點C(0,4).(1)求拋...
問題詳情:
如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交於A、B兩點,B點座標爲(4,0),與y軸交於點C(0,4).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P在x軸下方的拋物線上,過點P的直線y=x+m與直線BC交於點E,與y軸交於點F,求PE+EF的最大值;
(3)點D爲拋物線對稱軸上一點.
①當△BCD是以BC爲直角邊的直角三角形時,直接寫出點D的座標;
②若△BCD是銳角三角形,直接寫出點D的縱座標n的取值範圍.
【回答】
(1)把B(4,0),C(0,4)代入y=x2+bx+c,得
,
解得 ,
∴拋物線的解析式爲y=x2﹣5x+4;
(2)由B(4,0),C(0,4),根據待定係數法易得BC的解析式爲y=﹣x+4,
∵直線y=x+m與直線y=x平行,
∴直線y=﹣x+4與直線y=x+m垂直,
∴∠CEF=90°,
∴△ECF爲等腰直角三角形,
作PH⊥y軸於H,PG∥y軸交BC於G,如圖1,△EPG爲等腰直角三角形,PE=PG,
設P(t,t2﹣5t+4)(1<t<4),則G(t,﹣t+4),
∴PF=PH=t,PG=﹣t+4﹣(t2﹣5t+4)=﹣t2+4t,
∴PE=PG=﹣t2+2t,
∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣t2+4t+t=﹣t2+5t=﹣(t﹣)2+,
當t=時,PE+EF的最大值爲;
(3)①如圖2,拋物線的對稱軸爲直線x=,
設D(,y),則BC2=42+42=32,DC2=()2+(y﹣4)2,BD2=(4﹣)2+y2=+y2,
當△BCD是以BC爲直角邊,BD爲斜邊的直角三角形時,BC2+DC2=BD2,
即32+()2+(y﹣4)2=+y2,解得y=5,此時D點座標爲(,);
當△BCD是以BC爲直角邊,CD爲斜邊的直角三角形時,BC2+DB2=DC2,
即32++y2=()2+(y﹣4)2,解得y=﹣1,此時D點座標爲(,﹣);
綜上所述,符合條件的點D的座標是(,)或(,﹣);
②當△BCD是以BC爲斜邊的直角三角形時,DC2+DB2=BC2,即()2+(y﹣4)2++y2=32,解得y1=,y2=,此時D點座標爲(,)或(,),
所以△BCD是銳角三角形,點D的縱座標的取值範圍爲<y<或﹣<y<.
知識點:各地中考
題型:綜合題