定義：如圖1，在平面直角座標系中，點M是二次函數C1圖象上一點，過點M作l⊥x軸，如果二次函數C2的圖象與C1...

問題詳情：

定義：如圖1，在平面直角座標系中，點M是二次函數C1圖象上一點，過點M作l⊥x軸，如果二次函數C2的圖象與C1關於l成軸對稱，則稱C2是C1關於點M的伴隨函數．如圖2，在平面直角座標系中，二次函數C1的函數表達式是y＝﹣2x2+2，點M是二次函數C1圖象上一點，且點M的橫座標爲m，二次函數C2是C1關於點M的伴隨函數．

（1）若m＝1，

①求C2的函數表達式．

②點P（a，b1），Q（a+1，b2）在二次函數C2的圖象上，若b1≥b2，a的取值範圍爲     ．

（2）過點M作MN∥x軸，

①如果MN＝4，線段MN與C2的圖象交於點P，且MP：PN＝1：3，求m的值．

②如圖3，二次函數C2的圖象在MN上方的部分記爲G1，剩餘的部分沿MN翻折得到G2，由G1和G2所組成的圖象記爲G．以A（1，0）、B（3，0）爲頂點在x軸上方作正方形ABCD．直接寫出正方形ABCD與G有三個公共點時m的取值範圍．

【回答】

解：（1）①當m＝1時，拋物線C2與拋物線C1關於直線x＝1對稱

∴拋物線C2的頂點時（2，2）

∴拋物線C2的解析式爲y＝﹣2（x﹣2）2+2＝﹣2x2+8x﹣6

②∵點P（a，b1），Q（a+1，b2）在二次函數C2的圖象上

∴b2﹣b1＝﹣2（a+1）2+8（a+1）﹣6﹣（﹣2a2+8a﹣6）＝﹣4a+6

當b1≥b2時

﹣4a+6≤0

∴a≥

故*爲：a≥

（2）①∵MN∥x軸，MP：PN＝1：3

∴MP＝1

當m＞0時，2m＝1

m＝

當m＜0時，﹣2m＝1

m＝﹣

②分析圖象可知：當m＝時，可知C1和G的對稱軸關於直線x＝對稱，C2的頂點恰在AD上，此時G與正方形恰由2個交點．

當m＝1時，直線MN與x軸重合，G與正方形恰由三個頂點．

當m＝2時，G過點B（3，0）且G對稱軸左側部分與正方形有兩個交點

當m＝2或＜m≤1時，G與正方形ABCD有三個公共點．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題