如下圖，過拋物線y2＝2px(p>0)上一定點P(x0，y0)(y0>0)，作兩條直線分別交拋物線...

問題詳情：

如下圖，過拋物線y2＝2px (p>0)上一定點P(x0，y0)(y0>0)，作兩條直線分別交拋物線於A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)求該拋物線上縱座標爲的點到其焦點F的距離；

(2)當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求的值，並*直線AB的斜率是非零常數．

【回答】

 【解析】(1)當y＝時，x＝，又拋物線y2＝2px的準線方程爲x＝－，

由拋物線定義得，所求距離爲－＝.

(2)設直線PA的斜率爲kPA，直線PB的斜率爲kPB，由y＝2px1，y＝2px0，相減得

(y1－y0)(y1＋y0)＝2p(x1－x0)，故kPA＝＝(x1≠x0)．

同理可得kPB＝(x2≠x0)．由PA、PB傾斜率角互補知kPA＝－kPB，即＝－.

∴y1＋y2＝－2y0，故＝－2.

設直線AB的斜率爲kAB，由y＝2px2，y＝2px1，相減得(y2－y1)(y2＋y1)＝2p(x2－x1)．

∴kAB＝＝(x1≠x2)．將y1＋y2＝－2y0(y0>0)代入得kAB＝＝－，所以kAB是非零常數．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題