如图,△ABC是⊙O的内接三角形,点D在上,点E在弦AB上(E不与A重合),且四边形BDCE为菱形.(1)求*...
问题详情:
如图,△ABC是⊙O的内接三角形,点D在上,点E在弦AB上(E不与A重合),且四边形BDCE为菱形.
(1)求*:AC=CE;
(2)求*:BC2﹣AC2=AB•AC;
(3)已知⊙O的半径为3.
①若=,求BC的长;
②当为何值时,AB•AC的值最大?
【回答】
【解答】解:(1)∵四边形EBDC为菱形,
∴∠D=∠BEC,
∵四边形ABDC是圆的内接四边形,
∴∠A+∠D=180°,
又∠BEC+∠AEC=180°,
∴∠A=∠AEC,
∴AC=AE;
(2)以点C为圆心,CE长为半径作⊙C,与BC交于点F,于BC延长线交于点G,则CF=CG,
由(1)知AC=CE=CD,
∴CF=CG=AC,
∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形,
∴∠G+∠AEF=180°,
又∵∠AEF+∠BEF=180°,
∴∠G=∠BEF,
∵∠EBF=∠GBA,
∴△BEF∽△BGA,
∴=,即BF•BG=BE•AB,
∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC,BE=CE=AC,
∴(BC﹣AC)(BC+AC)=AB•AC,即BC2﹣AC2=AB•AC;
(3)设AB=5k、AC=3k,
∵BC2﹣AC2=AB•AC,
∴BC=2k,
连接ED交BC于点M,
∵四边形BDCE是菱形,
∴DE垂直平分BC,
则点E、O、M、D共线,
在Rt△DMC中,DC=AC=3k,MC=BC=k,
∴DM==k,
∴OM=OD﹣DM=3﹣k,
在Rt△COM中,由OM2+MC2=OC2得(3﹣k)2+(k)2=32,
解得:k=或k=0(舍),
∴BC=2k=4;
②设OM=d,则MD=3﹣d,MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2,
∴BC2=(2MC)2=36﹣4d2,
AC2=DC2=DM2+CM2=(3﹣d)2+9﹣d2,
由(2)得AB•AC=BC2﹣AC2
=﹣4d2+6d+18
=﹣4(d﹣)2+,
∴当x=,即OM=时,AB•AC最大,最大值为,
∴DC2=,
∴AC=DC=,
∴AB=,此时=.
【点评】本题主要考查圆的综合问题,解题的关键是掌握圆的有关*质、圆内接四边形的*质及菱形的*质、相似三角形的判定与*质、二次函数的*质等知识点.
知识点:各地中考
题型:解答题