在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或...
问题详情：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=
．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）若△AME∽△ENB，求AP的长．
图1 图2 备用图
【回答】
解：（1）如图1，∵∠ABC=90°，BC=30，AB=50，∴AC=40，
∵PE⊥AB，∴∠EPM=90°，
∴sin∠A=
=
，∴
，∴
，
∴在RTΔCMP中，sin∠EMP=
，即
，∴CM=
． 
图1 图2
（2）如图2，∠EPM=90°，∠ABC=90°∴
∠A =
=
，
∴
，∴
，
∴在RTΔEMP中，sin∠EMP=
，即
，
∴
,∴
，∵EM=EN，∴
，
∴
=
分
如图1，点E与点C重合时，
，又∵点E不与点A、C重合∴
（3）∵EM=EN，∴∠EMP=∠ENP，∴∠EMA=∠ENB，
当点E在线段AC上，∴如图3，△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应，
图3 图4
∴
，
∴（
）：（
）=（
）：（
）
∴
， 当点E在线段BC上，∴如图4，△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应，
∴，
∵BP=
，∴EP=
∴EM=
，MP=
，
∴BN=
，
∴[
]：
=
：[
]，
∴
． 综上AP的长为22或42．
知识点：各地中考
题型：综合题
