对于数列，若存在常数M>0，对任意的n∈N*，恒有，则称数列为B-数列.(1)首项为1，公比q()的等比...

问题详情：

对于数列，若存在常数M>0，对任意的n∈N*，恒有，则称数列为B-数列.

(1)首项为1，公比q()的等比数列是否为B-数列？请说明理由；

(2)设Sn是数列{xn}的前n项和，给出下列两组论断：

A组：①数列{xn}是B-数列，②数列{xn}不是B-数列

B组：①数列{Sn}是B-数列，②数列{Sn}不是B-数列

请以其中一组的一个论断为条件，另一组的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假，并*你的结论.

(3)若数列{an}、都是B-数列，*：数列{anbn}也是B-数列

【回答】

（1）是B-数列（2）命题1为假命题. 命题2为真命题.（3）见解析

【详解】

解：(1)设满足条件的等比数列为{an}，则.于是

因此，

因为|q|<1，所以

即

故首项为1，公比q(|q|<1)的等比数列是B-数列.

(2)命题1：若数列{xn}是B-数列，则数列{Sn}也是B-数列此命题为假命题.

事实上，设x=1，n∈N*，易知数列{xn}是B-数列，但Sn=n，

此时.

由n的任意*，知数列{Sn}不是B-数列

命题2：若数列{Sn}是B-数列，则数列{xn}也是B-数列此命题为真命题.

事实上，因为数列{Sn}是B-数列，所以存正数M，对任意n∈N*有

即.于是

所以数列{xn}是B-数列

按题中要求组成其它命题时，仿上述解法即可获得解决.

(3)若数列{an}、{bn}都是B-数列，则存在正数M1，M2，使得对任意n∈N*，有

，

.

注意到

同理，可得.记，则有

因此，.

故数列数列{anbn}是B-数列.

知识点：数学竞赛

题型：解答题