已知a≥0，函数f(x)=(x2－2ax)ex.（Ⅰ）当x为何值时，f(x)取得最小值？*你的结论；（Ⅱ）设...

问题详情：

已知a≥0，函数f(x)=(x2－2ax)ex.

（Ⅰ）当x为何值时，f(x)取得最小值？*你的结论；

（Ⅱ）设f(x)在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围.

【回答】

解：（Ⅰ）对函数f(x)求导数，得

f＇(x)=(x2－2ax)ex+(2x－2a)ex=[x2+2(1－a)x－2a]ex,

令f＇(x)=0，得

[x2+2(1－a)x－2a]ex=0,从而x2+1(1－a)x－2a=0.

解得x1=a－1－，x2=a－1+，其中x1<x2，

当x变化时，f＇(x)，f(x)的变化如下表：

当f(x)在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值.        

a≥0时，x1<－1,x2≥0,f(x)在(x1,x2)为减函数，在(x2,+∞)为增函数.

而当x<0时，f(x)=x(x－2a)ex>0；当x=0时，f(x)=0，

所以当x=a－1+时，f(x)取得最小值.        

（Ⅱ）当a≥0时，f(x)在[－1，1]上为单调函数的充要条件是x2≥1，

即a－1+≥1，解得a≥,

综上，f(x)在[－1，1]上为单调函数的充分必要条件为a≥，

即a的取值范围是[，+∞]

知识点：导数及其应用

题型：计算题