在三棱锥中，，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积的最大值为时，其外接球的表面积为（ ）A． ...
问题详情：
在三棱锥
中，
，二面角
的余弦值为
，当三棱锥
的体积的最大值为
时，其外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【回答】
B
【分析】
根据两个*影，结合球的图形，可知二面角
的平面角为
；根据题意可知当
，
时，三棱锥
的体积最大．根据体积的最大值可求得BC的长，结合图形即可求得球的半径，进而求得表面积．
【详解】
如图，设球心
在平面
内的*影为
，在平面
内的*影为
，
则二面角
的平面角为
，
点
在截面圆
上运动，点
在截面圆
上运动，
由图知，当
，
时，三棱锥
的体积最大，此时
与
是等边三角形，
设
，则
，
，
，
，
解得
，所以
，
，
，设
，
则
，
解得
，
∴
，
球
的半径
，
所求外接球的表面积为
，
故选B.
【点睛】
本题考查了三棱锥外接球的综合应用，根据空间几何关系求得球的半径，进而求得表面积，对空间想象能力要求较高，属于难题．
知识点：空间几何体
题型：选择题
