如图13,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)*:PB∥平...
问题详情:
如图13,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)*:PB∥平面AEC;
(2)设二面角DAEC为60°,AP=1,AD=,求三棱锥EACD的体积.
图13
【回答】
解:(1)*:连接BD交AC于点O,连接EO.
因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.
又E为PD的中点,所以EO∥PB.
因为EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,
所以PB∥平面AEC.
(2)因为PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,
所以AB,AD,AP两两垂直.
如图,以A为坐标原点,,AD,AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,||为单位长,建立空间直角坐标系Axyz,则D,E,=.
设B(m,0,0)(m>0),则C(m,,0),=(m,,0).
设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,
则即
可取n1=.
又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,
由题设易知|cos〈n1,n2〉|=,即
=,解得m=.
因为E为PD的中点,所以三棱锥EACD的高为.三棱锥EACD的体积V=××××=.
知识点:空间中的向量与立体几何
题型:解答题