【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，...

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【阅读】

数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．

【理解】

（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；

（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2＝　   　；

【运用】

（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7．

①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝　   　；当n＝5，m＝　   　时，y＝9；

②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝　   　（用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．

【回答】

解：（1）有三个Rt△其面积分别为ab， ab和c2．

直角梯形的面积为（a+b）（a+b）．

由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2

整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，

∴a2+b2＝c2．

故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2＝c2．

（2）n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n﹣1．

由图形可知：n2＝1+3+5+7+…+2n﹣1．

故*为1+3+5+7+…+2n﹣1．

（3）①如图4，当n＝4，m＝2时，y＝6，

如图5，当n＝5，m＝3时，y＝9．

②方法1．对于一般的情形，在n边形内画m个点，第一个点将多边形分成了n个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得y＝n+2（m﹣1）．

方法2．以△ABC的二个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点为顶点，可把△ABC分割成3+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点为顶点，可把四边形分割成4+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成n+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故可得y＝n+2（m﹣1）．

故*为：①6，3；②n+2（m﹣1）．

知识点：各地中考

题型：解答题