如图所示,⊙O的半径为4,点A是⊙O上一点,直线l过点A;P是⊙O上的一个动点(不与点A重合),过点P作PB⊥...
问题详情:
如图所示,⊙O的半径为4,点A是⊙O上一点,直线l过点A;P是⊙O上的一个动点(不与点A重合),过点P作PB⊥l于点B,交⊙O于点E,直径PD延长线交直线l于点F,点A是的中点.
(1)求*:直线l是⊙O的切线;
(2)若PA=6,求PB的长.
【回答】
(1)*见解析;(2)PB=.
【解析】
(1)如图,连接DE,OA,根据垂径定理*OA⊥BF即可;
(2)如图,作OH⊥PA于H,只要*△AOH∽△PAB,可得,即可解决问题.
【详解】
(1)如图,连接DE,OA,
∵PD是直径,
∴∠DEP=90°,
∵PB⊥FB,
∴∠DEP=∠FBP,
∴DE∥BF,
∵,
∴OA⊥DE,
∴OA⊥BF,
∴直线l是⊙O的切线;
(2)如图,作OH⊥PA于H,
∵OA=OP,OH⊥PA,
∴AH=PH=3,
∵OA∥PB,
∴∠OAH=∠APB,
∵∠AHO=∠ABP=90°,
∴△AOH∽△PAB,
∴,
∴,
∴PB=.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和*质、垂径定理、切线的判定等,正确添加辅助线、熟练掌握和运用相关知识是解题的关键.
知识点:相似三角形
题型:解答题