记分别为函数的导函数.若存在,满足且,则称为函数与的一个“点”.(1)*:函数与不存在“点”;(2)若函数与...
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记分别为函数的导函数.若存在,满足且,则称为函数与的一个“点”.
(1)*:函数与不存在“点”;
(2)若函数与存在“点”,求实数的值;
(3)已知函数,.对任意,判断是否存在,使函数与在区间内存在“点”,并说明理由.
【回答】
(1)*见解析;(2);(3)存在,使函数与在区间内存在“点”.
【解析】
分析:(1)根据题中“S点”的定义列两个方程,根据方程组无解*得结论;(2)同(1)根据“S点”的定义列两个方程,解方程组可得a的值;(3)通过构造函数以及结合 “S点”的定义列两个方程,再判断方程组是否有解即可*得结论.
详解:解:(1)函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则f′(x)=1,g′(x)=2x+2.
由f(x)=g(x)且f′(x)= g′(x),得
,此方程组无解,
因此,f(x)与g(x)不存在“S”点.
(2)函数,,
则.
设x0为f(x)与g(x)的“S”点,由f(x0)与g(x0)且f′(x0)与g′(x0),得
,即,(*)
得,即,则.
当时,满足方程组(*),即为f(x)与g(x)的“S”点.
因此,a的值为.
(3)对任意a>0,设.
因为,且h(x)的图象是不间断的,
所以存在∈(0,1),使得,令,则b>0.
函数,
则.
由f(x)与g(x)且f′(x)与g′(x),得
,即(**)
此时,满足方程组(**),即是函数f(x)与g(x)在区间(0,1)内的一个“S点”.
因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.
点睛:涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题,一般先通过导数研究函数的单调*、最大值、最小值、变化趋势等,再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况,归根到底还是研究函数的*质,如单调*、极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
知识点:导数及其应用
题型:解答题