设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线M...

问题详情：

设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.

(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;

(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.

【回答】

解:(1)根据c=及题设知M(c,),2b2=3ac.

将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=,=-2(舍去).

故C的离心率为.

(2)由题意知,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.①

由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.

设N(x1,y1),由题意知y1<0,则

即

代入C的方程,得+=1.②

将①及c=代入②得+=1,

解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题