已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线l在y轴上的截距...
问题详情:
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),l交椭圆于A、B两个不同点.
(1)求椭圆的标准方程以及m的取值范围;
(2)求*直线MA,MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
【回答】
【考点】K4:椭圆的简单*质.
【分析】(1)根据题意,将M点代入即可求得a和b的值,即可求得椭圆方程,求得直线l的方程,代入椭圆方程,由△>0即可求得m的取值范围;
(2)设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2,只需*k1+k2=0即可,根据直线的斜率公式及韦达定理即可求得*.
【解答】解:(1)设椭圆方程为(a>b>0),且a=2b,
椭圆经过点M(2,1),则,解得:a=2,b=,
∴椭圆方程;…
∵直线l平行于OM,且在y轴上的截距为m 又kOM=,
∴l的方程为:y=x+m,
由,整理得:x2+2mx+2m2﹣4=0,…
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点,△=(2m)2﹣4(2m2﹣4)>0,解得:﹣2<m<0或0<m<2,
∴m的取值范围是(﹣2,0)∪(0,2);…
(2)*:设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2,
要*直线MA,MB与x轴始终围成一个等腰三角形.只需*k1+k2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),l的方程为:y=x+m,则k1=,k2=.
由,整理得:x2+2mx+2m2﹣4=0
∴x1+x2=﹣2m,x1x2=2m2﹣4,
而k1+k2=+=,
其分子=(x1+m﹣1)(x2﹣2)+(x2+m﹣1)(x1﹣2)
=x1x2+(m﹣2)(x1+x2)﹣4(m﹣1)=2m2﹣4﹣2m(m﹣2)﹣4m+4=0,
∴k1+k2=0.
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题