速运动.动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动,当点P到达点B时,点P、Q同时停止运动.设...
问题详情:
速运动.动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动,当点P到达点B时,点P、Q同时停止运动.设运动时间为以t(s).过点P作PE⊥AC于E,连接PQ交AC边于D.以CQ、CE为边作平行四边形CQFE.
(1)当t为何值时,△BPQ为直角三角形;
(2)是否存在某一时刻t,使点F在∠ABC的平分线上?若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由;
(3)求DE的长;
(4)取线段BC的中点M,连接PM,将△BPM沿直线PM翻折,得△B′PM,连接AB′,当t为何值时,AB'的值最小?并求出最小值.
【回答】
【解答】解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°,
∴当BQ=2BP时,∠BPQ=90°,
∴6+t=2(6﹣t),
∴t=3,
∴t=3时,△BPQ是直角三角形.
(2)存在.
理由:如图1中,连接BF交AC于M.
∵BF平分∠ABC,BA=BC,
∴BF⊥AC,AM=CM=3cm,
∵EF∥BQ,
∴∠EFM=∠FBC=∠ABC=30°,
∴EF=2EM,
∴t=2•(3﹣t),
解得t=3.
(3)如图2中,作PK∥BC交AC于K.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠A=60°,
∵PK∥BC,
∴∠APK=∠B=60°,
∴∠A=∠APK=∠AKP=60°,
∴△APK是等边三角形,
∴PA=PK,
∵PE⊥AK,
∴AE=EK,
∵AP=CQ=PK,∠PKD=∠DCQ,∠PDK=∠QDC,
∴△PKD≌△QCD(AAS),
∴DK=DC,
∴DE=EK+DK=(AK+CK)=AC=3(cm).
(4)如图3中,连接AM,AB′
∵BM=CM=3,AB=AC,
∴AM⊥BC,
∴AM==3,
∵AB′≥AM﹣MB′,
∴AB′≥3﹣3,
∴AB′的最小值为3﹣3.
知识点:各地中考
题型:综合题