函数的图象经过四个象限，则a的取值范围是　　　　　　．

问题详情：

函数的图象经过四个象限，则a的取值范围是　　　　　　．

【回答】

（﹣96，﹣15）　．

考点： 利用导数研究函数的极值．

专题： 导数的概念及应用．

分析： 首先讨论a=0时原函数图象的情况，当a≠0时，求出原函数的导函数，分a＞0和a＜0两种情况讨论原函数的单调*，求出函数的极值点并求解极值，当a＞0时，要使原函数的图象经过四个象限，需要极大值大于0，且极小值小于0，此时a的值不存在；当a＜0时，要使原函数的图象经过四个象限，则需要极小值小于0，且极大值大于0，由此解得a的取值范围．

解答： 解：由，

若a=0时，原函数化为f（x）=80．为常数函数，不合题意；

f′（x）=ax2+ax﹣2a=a（x2+x﹣2）=a（x+2）（x﹣1）．

若a＞0时，当x∈（﹣∞，﹣2），x∈（1，+∞）时有f′（x）＞0，

函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上为增函数．

当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣2，1）上为减函数．

所以函数f（x）在x=﹣2时取得极大值=．

函数f（x）在x=1时取得极小值．

因为函数的图象先增后减再增，要使函数的图象经过四个象限，

则，解①得：a＞﹣15．解②得：a＜﹣96．

此时a∈∅；

若a＜0，当x∈（﹣∞，﹣2），x∈（1，+∞）时有f′（x）＜0，

函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上为减函数．

当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣2，1）上为增函数．

所以函数f（x）在x=﹣2时取得极小值=．

函数f（x）在x=1时取得极大值．

为函数的图象先减后增再减，要使函数的图象经过四个象限，

则，解得﹣96＜a＜﹣15．

所以使函数的图象经过四个象限的a的取值范围是（﹣96，﹣15）．

故*为（﹣96，﹣15）．

点评： 本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数的极值与函数图象之间的关系，思考该问题时考虑数与形的结合，属中档题．

知识点：导数及其应用

题型：填空题