如图,在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1,l2,一自然景观的边界近似为圆形,其半径约为1千米,...
问题详情:
如图,在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1,l2,一自然景观的边界近似为圆形,其半径约为1千米,景观的中心C到l1,l2的距离相等,点C到点O的距离约为10千米.现拟新建四条游览道路方便游客参观,具体方案:在线段OC上取一点P,新建一条道路OP,并过点P新建两条与圆C相切的道路PM,PN(M,N为切点),同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB(A,B分别在l1,l2上).为促进沿途旅游经济,新建道路长度之和越大越好,求新建道路长度之和的最大值.(所有道路宽度忽略不计)
【回答】
千米
【分析】
设ÐPCM=q,用表示出各道路长,并求出和.然后求导,用导数知识求得最大值.
【详解】
解:连接CM,设ÐPCM=q,则PC=,PM=PN=tanq,
OP=OC﹣PC=10﹣,AB=2OP=20﹣,
设新建的道路长度之和为,
则,
由1<PC≤10得≤<1,设,(0,),
则,,,令得
设,,q,,的情况如下表:
(0,) | (,) | ||
+ | 0 | - | |
单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
由表可知时有极大值也是最大值,此时,,,
.
答:新建道路长度之和的最大值为千米.
【点睛】
本题考查导数的实际应用,解题关键是建立三角函数的模型,引入参数ÐPCM=q,把各道路长用表示,并求出和.
知识点:三角函数
题型:解答题