阅读下列内容，并解决问题.一道习题引发的思考小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题,并对有关内容进行...

问题详情：

阅读下列内容，并解决问题.

一道习题引发的思考

小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题,并对有关内容进行了研究:习题再现：

古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数,a=2m,b=m2-1,c=m2+1那么a,b,c为勾股数.你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？

资料搜集：

定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.一般地，若三角形三边长a,b,c都是正整数,且满足a2+b2=c2,那么a,b,c称为一组勾股数.

关于勾股数的研究：我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了 “勾三，股 四，弦五”，这组数（3,4,5）是世界上最早发现的一组勾股数.毕达哥拄斯学派、柏拉 图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究.习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九幸算术》，其勾股数公式为:,,, 其中m>n,m,n是互质的奇数.（注:a,b,c的相同倍数组成的一组数也是勾股数）

问题解答：

（1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数；

（2）若m表示大于1的整数，试*（m2-1,2m,m2+1）是一组勾股数；

（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数.

【回答】

解：（1）（12，35，37） .................................1 分

（2）*：(m2-1)2+(2m)2

=m4-2m2+1+4m2

=m4+2m2+1

=(m2+1)2     .......................................3 分

即(m2-1)2+(2m)2=(m2+1)2.

∴（m2－1，2m，m2+1）是一组勾股数 ..........................4 分

（3）*不唯一，例如（5，12，13），（7，24，25）等. .........6分

知识点：勾股定理

题型：解答题