如图,平面四边形ABCD,AB⊥BD,AB=BC=CD=2,BD=2,将△ABD沿BD翻折到与面BCD垂直的位...
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如图,平面四边形ABCD,AB⊥BD,AB=BC=CD=2,BD=2,将△ABD沿BD翻折到与面BCD垂直的位置. (Ⅰ)*:CD⊥面ABC; (Ⅱ)若E为AD中点,求二面角E-BC=A的大小.
【回答】
*:(1)∵平面四边形ABCD,AB⊥BD,AB=BC=CD=2,BD=2, 面ABD⊥面BCD,AB⊥BD,面ABD∩平面BCD=BD, ∴AB⊥面BCD,∴AB⊥CD, 又AC2=AB2+BC2=8,AD2=AB2+BD2=12,AD2=AC2+CD2=12, ∴AB⊥BC,AB⊥BD,AC⊥CD, ∵AC∩AB=A,∴CD⊥平面ABC. 解:(2)AB⊥面BCD,如图以B为原点,在平面BCD中,过B作BD的垂线为x轴, 以BD为y轴,以BA为z轴,建立空间直角坐标系, 则B(0,0,0),A(0,0,2),C(,0),D(0,2,0), ∵E是AD的中点,∴E(0,,1), ∴=(,0),=(0,,1), 令平面BCE的一个法向量为=(x,y,z), 则,取x=1,得=(1,-1,), ∵CD⊥面ABC,∴平面ABC的一个法向量为=(-,0), ∴cos<,>==, ∴二面角E-BC=A的大小为45°. 【解析】
(1)推导出AB⊥面BCD,从而AB⊥CD,再求出AB⊥BC,AB⊥BD,AC⊥CD,由此能*CD⊥平面ABC. (2)以B为原点,在平面BCD中,过B作BD的垂线为x轴,以BD为y轴,以BA为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角E-BC=A的大小. 本题考查线面垂直的*,考查二面角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想,是中档题.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题