已知數列的前項和爲，把滿足條件的所有數列構成的*記爲．  （1）若數列通項公式爲，求*：；  （2）若數列是...

問題詳情：

已知數列的前項和爲，把滿足條件的所有數列構成的*

記爲．

   （1）若數列通項公式爲，求*：；

   （2）若數列是等差數列，且，求的取值範圍；

（3）設，數列的各項均爲正數，且．問數列中是否存在

無窮多項依次成等差數列？若存在，給出一個數列的通項；若不存在，說明理由．

【回答】

解:（1）因爲，所以，            …… 2分

所以，

所以，即．                                   …… 4分

（2）設的公差爲，

因爲，所以（*），

特別的當時，，即，                       …… 6分

由（*）得，

整理得，

因爲上述不等式對一切恆成立，所以必有，解得，       

又，所以，                                         …… 8分

於是，即，

所以，即，

所以，

因此的取值範圍是．                             …… 10分

（3）由得，所以，即，

所以，從而有，     

又，所以，即，

又，，

所以有，所以，                  …… 12分

假設數列（其中）中存在無窮多項依次成等差數列，

不妨設該等差數列的第項爲(爲常數)，

則存在，，使得，

即，                                         …… 14分

設，

則，即，

於是當時，，

從而有：當時，即，

於是當時，關於的不等式有無窮多個解，顯然不成立，

因此數列中是不存在無窮多項依次成等差數列．            …… 16分

知識點：數列

題型：解答題