如圖1，直線AB與x軸、y軸分別相交於點A、B，將線段AB繞點A順時針旋轉90°，得到AC，連接BC，將△AB...
問題詳情：
如圖1，直線AB與x軸、y軸分別相交於點A、B，將線段AB繞點A順時針旋轉90°，得到AC，連接BC，將△ABC沿*線BA平移，當點C到達x軸時運動停止．設平移距離爲m，平移後的圖形在x軸下方部分的面積爲S，S關於m的函數圖象如圖2所示（其中0＜m≤a，a＜m≤b時，函數的解析式不同）．
（1）填空：△ABC的面積爲 ；
（2）求直線AB的解析式；
（3）求S關於m的解析式，並寫出m的取值範圍．
【回答】
（1）
；（2）y=﹣
x+1；（3）S=
．
【分析】
（1）由圖2結合平移即可得出結論；
（2）判斷出△AOB≌△CEA，得出AE＝OB，CE＝OA，再由圖2知，點C的縱座標是點B縱座標的2倍，即可利用三角形ABC的面積求出OB，OA，即可得出結論；
（3）分兩種情況，利用三角形的面積公式或三角形的面積差即可得出結論．
【詳解】
解：（1）結合△ABC的移動和圖2知，點B移動到點A處，
就是圖2中，m=a時，S=S△A'B'D=
，點C移動到x軸上時，
即：m=b時，S=S△A'B'C'=S△ABC=
．
故*爲
；
（2）如圖2，過點C作CE⊥x軸於E，
∴∠AEC=∠BOA=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAE=90°，
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠CAE，
由旋轉知，AB=AC，
∴△AOB≌△CEA，
∴AE=OB，CE=OA，
由圖2知，點C的縱座標是點B縱座標的2倍，
∴OA=2OB，
∴AB2=5OB2，
由（1）知，S△ABC=
=
AB2=
×5OB2，
∴OB=1，
∴OA=2，
∴A（2，0），B（0，1），
∴直線AB的解析式爲y=﹣
x+1；
（3）由（2）知，AB2=5，
∴AB=
，
①當0≤m≤
時，如圖3，
∵∠AOB=∠AA'F，∠OAB=∠A'AF，
∴△AOB∽△AA'F，
∴
，
由運動知，AA'=m，∴
，
∴A'F=
m，
∴S=
AA'×A'F=
m2，
②當
＜m≤2
時，如圖4，
同①的方法得：A'F=
m，
∴C'F=
﹣
m，
過點C作CE⊥x軸於E，過點B作BM⊥CE於E，
∴BM=3，CM=1，
易知，△ACE∽△FC'H，
∴
，
∴
，
∴C'H=
．
在Rt△FHC'中，FH=
C'H=
，
由平移知，∠C'GF=∠CBM，
∵∠BMC=∠GHC'，
∴△BMC∽△GHC'，
∴
，
∴
，
∴GH=
，
∴GF=GH﹣FH=
，
∴S=S△A'B'C'﹣S△C'FG=
﹣
×
×
=
﹣
（2
﹣m）2，
即：S=
．
【點睛】
此題是二次函數綜合題，主要考查了待定係數法，全等三角形的判定和*質，三角形的面積公式，平移的*質，相似三角形的判定和*質，構造相似三角形是解本題的關鍵．
知識點：二次函數單元測試
題型：解答題
