.設函數f(x)=x-1ex的定義域爲(-∞,0)∪(0,+∞).(1)求函數f(x)在[m,m+1](m&g...
問題詳情:
.設函數f(x)=x-1ex的定義域爲(-∞, 0)∪(0, +∞).
(1)求函數f(x)在[m,m+1](m>0)上的最小值;
(2)設函數g(x)=若x1≠x2,且g(x1)=g(x2), *:x1+x2>2.
【回答】
(1)解:由題意得f'(x)=,則當x>1時,f'(x)>0;
0<x<1時,f'(x)<0.
由此可知函數f(x)在(0,1)上是減函數,在(1,+∞)上是增函數.
當m≥1時,函數f(x)在[m,m+1]上是增函數,
此時f(x)min=f(m)=.
當0<m<1時,函數f(x)在[m,1]上是減函數,
在[1,m+1]上是增函數,此時f(x)min=f(1)=e.
(2)*:由題意可得g(x)=xe-x(x∈R),g'(x)=(1-x)e-x.
所以g(x)在(-∞,1)上是增函數,在(1,+∞)上是減函數.①
設函數F(x)=g(x)-g(2-x),
即F(x)=xe-x+(x-2)ex-2,
於是F'(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x,
當x>1時,2x-2>0,從而e2x-2-1>0,
又e-x>0,所以F'(x)>0,
從而函數F(x)在[1,+∞)上是增函數.
又F(1)=e-1-e-1=0,所以x>1時,
有F(x)>F(1)=0,即g(x)>g(2-x).②
由①及g(x1)=g(x2)知x1與x2只能在1的兩側.
不妨設0<x1<1,x2>1,
由結論②可知,g(x2)>g(2-x2),
所以g(x1)=g(x2)>g(2-x2).
因爲x2>1,所以2-x2<1,
又由結論①可知函數g(x)在(-∞,1)上是增函數,
所以x1>2-x2,即x1+x2>2.
知識點:基本初等函數I
題型:填空題