已知函數f(x)=(x-a)2(x-b)(a,b∈R,a<b).(1)當a=1,b=2時,求曲線y=f(...

問題詳情：

已知函數f(x)=(x-a)2(x-b)(a,b∈R,a<b).

(1)當a=1,b=2時,求曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程;

(2)設x1,x2是f(x)的兩個極值點,x3是f(x)的一個零點,且x3≠x1,x3≠x2.*:存在實數x4,使得x1,x2,x3,x4按某種順序排列後構成等差數列,並求x4.

【回答】

 (1)解:當a=1,b=2時,f(x)=(x-1)2(x-2),

f′(x)= (x-1)(3x-5),

故f′(2)=1.

又f(2)=0,

所以f(x)在點(2,0)處的切線方程爲y=x-2.

(2)*:由題意得f′(x)=3(x-a)(x-

由於a<b且a,b∈R,故a<

所以f(x)的兩個極值點爲x=a,x=

不妨設x1=a,x2=

因爲x3≠x1,x3≠x2,

且x3是f(x)的零點,

故x3=b.

又因爲

x4=

此時a,

所以存在實數x4滿足題意,且x4=

知識點：推理與*

題型：解答題