已知命題A:函數f(x)=x2-4mx+4m2+2在區間[-1,3]上的最小值爲2;命題B:若g(x)=且g(...
問題詳情:
已知命題A:函數f(x)=x2-4mx+4m2+2在區間[-1,3]上的最小值爲2;
命題B:若g(x)=且g(x)>1對任意x∈R恆成立;
命題C:{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x2-4≥0}.
(1)若A,B,C中至少有一個爲真命題,試求實數m的取值範圍.
(2)若A,B,C中恰有一個爲假命題,試求實數m的取值範圍.
【回答】
(1)因爲f(x)=x2-4mx+4m2+2=(x-2m)2+2,
所以只有x=2m時,f(x)的最小值爲2.
又因爲f(x)在區間[-1,3]上的最小值爲2,
所以-1≤2m≤3,所以-≤m≤,
所以命題A爲真的條件是-≤m≤.
因爲g(x)=
當x≥m時,g(x)=2x-m在[m,+∞)上單調遞增,g(x)min=g(m)=m;
當x<m時,g(x)=m=g(x)min,
所以x∈R時,g(x)的最小值爲m,
所以命題B爲真的條件是m>1.
因爲{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x2-4≥0},
所以m>2m+1或或
所以m<-1或m≥2或m∈∅,
所以命題C爲真的條件是m<-1或m≥2.
因爲命題A,B,C都爲假的條件是
-1≤m<-,
所以命題A,B,C中至少有一個爲真命題的條件是m<-1或m≥-.
(2)當A假,B,C爲真時,m≥2;
當A真,B假,C爲真時,m∈∅;
當A真,B真,C爲假時,
1<m≤,
所以A,B,C中恰有一個爲假命題的條件是m≥2或1<m≤.
知識點:常用邏輯用語
題型:解答題