如圖,等邊△ABC的邊長爲2,E是邊BC上的動點,EF∥AC交邊AB於點F,在邊AC上取一點P,使PE=EB,...
問題詳情:
如圖,等邊△ABC的邊長爲2,E是邊BC上的動點,EF∥AC交邊AB於點F,在邊AC上取一點P,使PE=EB,連接FP.
(1)請直接寫出圖中與線段EF相等的兩條線段;(不再另外添加輔助線)
(2)探究:當點E在什麼位置時,四邊形EFPC是平行四邊形?並判斷四邊形EFPC是什麼特殊的平行四邊形,請說明理由;
(3)在(2)的條件下,以點E爲圓心,r爲半徑作圓,根據⊙E與平行四邊形EFPC四條邊交點的總個數,求相應的r的取值範圍.
【回答】
【考點】點與圓的位置關係;等邊三角形的*質;平行四邊形的判定;菱形的判定.
【專題】探究型.
【分析】(1)由平行易得△BFE是等邊三角形,那麼各邊是相等的;
(2)當點E是BC的中點時,△PEC爲等邊三角形,可得到PC=EC=BE=EF,也就得到了四邊形EFPC是平行四邊形,再有EF=EC可*爲菱形;
(3)根據各點到圓心的距離作答即可.
【解答】解:(1)如圖,∵△ABC是等邊三角形,
∴∠B=∠A=∠C=60°.
又∵EF∥AC,
∴∠BFE=∠A=60°,∠BEF=∠C=60°,
∴△BFE是等邊三角形,PE=EB,
∴EF=BE=PE=BF;
(2)當點E是BC的中點時,四邊形是菱形;
∵E是BC的中點,
∴EC=BE,
∵PE=BE,
∴PE=EC,
∵∠C=60°,
∴△PEC是等邊三角形,
∴PC=EC=PE,
∵EF=BE,
∴EF=PC,
又∵EF∥CP,
∴四邊形EFPC是平行四邊形,
∵EC=PC=EF,
∴平行四邊形EFPC是菱形;
(3)如圖所示:
當點E是BC的中點時,EC=1,則NE=ECcos30°=,
當0<r<時,有兩個交點;
當r=時,有四個交點;
當<r<1時,有六個交點;
當r=1時,有三個交點;
當r>1時,有0個交點.
【點評】本題綜合考查了等邊三角形的*質和判定,菱形的判定及點和圓的位置關係等知識點.注意圓和線段有交點,應根據半徑作答.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:綜合題