已知函數1）求函數的極值；2）若，且對任意恆成立，求實數的最大值；
問題詳情：
已知函數
1）求函數
的極值；
2）若
，且
對任意
恆成立，求實數
的最大值；
【回答】
解：1）∵f（x）=ln（x+1）﹣x， ∴f′（x）=
﹣1=﹣
，
∴當x∈（﹣1，0）時，f′（x）＞0； 當x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0；
故當
時，f（x）有極大值爲0，無極小值。
2）∵f（x﹣1）+x＞k（1﹣
）， ∴lnx﹣（x﹣1）+x＞k（1﹣
），
∴lnx+1＞k（1﹣
）， 即xlnx+x﹣kx+3k＞0，
令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k， 則g′（x）=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k，
∵x＞1， ∴lnx＞0，
若k≤2，g′（x）＞0恆成立，
即g（x）在（1，+∞）上遞增； ∴g（1）=1+2k≥0， 解得，k≥﹣
；
故﹣
≤k≤2， 故k的最大值爲2；
若k＞2，由lnx+2﹣k＞0解得x＞ek﹣2，
故g（x）在（1，ek﹣2）上單調遞減，在（ek﹣2，+∞）上單調遞增；
∴gmin（x）=g（ek﹣2）=3k﹣ek﹣2，
令h（k）=3k﹣ek﹣2，h′（k）=3﹣ek﹣2，
∴h（k）在（1，2+ln3）上單調遞增，在（2+ln3，+∞）上單調遞減；
∵h（2+ln3）=3+3ln3＞0，h（4）=12﹣e2＞0，h（5）=15﹣e3＜0；
∴k的最大取值爲4，
綜上所述，k的最大值爲4．
3）假設存在這樣的x0滿足題意，
∵e
＜1﹣
x02， ∴
x02+
﹣1＜0，
令h（x）=
x2+
﹣1， ∵h′（x）=x（a﹣
），
令h′（x）=x（a﹣
）=0得ex=
， 故x=﹣lna，取x0=﹣lna，
在0＜x＜x0時，h′（x）＜0，當x＞x0時，h′（x）＞0；
∴hmin（x）=h（x0）=
（﹣lna）2﹣alna+a﹣1，
在a∈（0，1）時，令p（a）=
（lna）2﹣alna+a﹣1， 則p′（a）=
（lna）2≥0，
故p（a）在（0，1）上是增函數， 故p（a）＜p（1）=0，
即當x0=﹣lna時符合題意．
知識點：基本初等函數I
題型：解答題
