直線l過橢圓+y2=1的左焦點F,且與橢圓相交於P、Q兩點,M爲PQ的中點,O爲原點.若△FMO是以OF爲底邊...
問題詳情:
直線l過橢圓+y2=1的左焦點F,且與橢圓相交於P、Q兩點,M爲PQ的中點,O爲原點.若△FMO是以OF爲底邊的等腰三角形,則直線l的方程爲 .
【回答】
x±y+1=0
解析:法一 由橢圓方程得a=,b=c=1,則F(-1,0).
在△FMO中 ,|MF|=|MO|,
所以M在線段OF的中垂線上,
即xM=-,
設直線l的斜率爲k,則其方程爲y=k(x+1),
由得x2+2k2(x+1)2-2=0,
即(2k2+1)x2+4k2x+2(k2-1)=0,
∴xP+xQ=,
而M爲PQ的中點,
故xM=(xP+xQ)==-,
∴k2=,
解得k=±.
故直線l的方程爲y=±(x+1),
即x±y+1=0.
法二 設P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),
由題意知kPQ=-kOM,
由P、Q在橢圓上知
兩式相減整理得kPQ==-=-,
而kOM=,故=,
即=2,
所以kPQ=±,
直線PQ的方程爲y=±(x+1),
即x±y+1=0.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:填空題