如圖,等邊三角形ABC的邊長爲4,點O是△ABC的中心,∠FOG=120°,繞點O旋轉∠FOG,分別交線段AB...
問題詳情:
如圖,等邊三角形ABC的邊長爲4,點O是△ABC的中心,∠FOG=120°,繞點O旋轉∠FOG,分別交線段AB、BC於D、E兩點,連接DE,給出下列四個結論:①OD=OE;②S△ODE=S△BDE;③四邊形ODBE的面積始終等於;④△BDE周長的最小值爲6.上述結論中正確的個數是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【回答】
C
【分析】連接OB、OC,如圖,利用等邊三角形的*質得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°,再*∠BOD=∠COE,於是可判斷△BOD≌△COE,所以BD=CE,OD=OE,則可對①進行判斷;利用S△BOD=S△COE得到四邊形ODBE的面積=S△ABC=,則可對③進行判斷;作OH⊥DE,如圖,則DH=EH,計算出S△ODE=OE2,利用S△ODE隨OE的變化而變化和四邊形ODBE的面積爲定值可對②進行判斷;由於△BDE的周長=BC+DE=4+DE=4+OE,根據垂線段最短,當OE⊥BC時,OE最小,△BDE的周長最小,計算出此時OE的長則可對④進行判斷.
解:連接OB、OC,如圖,
∵△ABC爲等邊三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∵點O是△ABC的中心,
∴OB=OC,OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB,
∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°
∴∠BOC=120°,即∠BOE+∠COE=120°,
而∠DOE=120°,即∠BOE+∠BOD=120°,
∴∠BOD=∠COE,
在△BOD和△COE中
,
∴△BOD≌△COE,
∴BD=CE,OD=OE,所以①正確;
∴S△BOD=S△COE,
∴四邊形ODBE的面積=S△OBC=S△ABC=××42=,所以③正確;
作OH⊥DE,如圖,則DH=EH,
∵∠DOE=120°,
∴∠ODE=∠OEH=30°,
∴OH=OE,HE=OH=OE,
∴DE=OE,
∴S△ODE=•OE•OE=OE2,
即S△ODE隨OE的變化而變化,
而四邊形ODBE的面積爲定值,
∴S△ODE≠S△BDE;所以②錯誤;
∵BD=CE,
∴△BDE的周長=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+OE,
當OE⊥BC時,OE最小,△BDE的周長最小,此時OE=,
∴△BDE周長的最小值=4+2=6,所以④正確.
故選:C.
知識點:圖形的旋轉
題型:選擇題