已知橢圓C的兩個頂點分別爲A(−2,0)，B(2,0)，焦點在x軸上，離心率爲．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）已...

問題詳情：

已知橢圓C的兩個頂點分別爲A(−2,0)，B(2,0)，焦點在x軸上，離心率爲．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知點是橢圓上一點，求以點爲切點的橢圓的切線方程；

（Ⅲ）設點是直線上一動點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別爲，直線是否過定點？如果是，請求出定點座標；如果不是，請說明理由．

【回答】

（Ⅰ）設橢圓的方程爲.

由題意得解得.

所以.

所以橢圓的方程爲.…………3分

（Ⅱ）（1）如果，則切線的斜率存在，

設切線方程爲，即

與橢圓聯立，消去整理得：

　　（*）

因爲直線與橢圓相切，所以方程（*）中

△＝……5分

得　　　 ①

又因爲點在橢圓上，所以代入①

得

所以…………6分

所以切線方程爲，即…………7分

（2）如果座標爲，則切線方程爲，滿足…………8分

（3）如果座標爲，則切線方程爲，滿足…………9分

綜上所述，切線方程爲…………10分

（Ⅲ）法一：設，

則由（Ⅱ）可知，方程爲 ①

方程爲 ②…………12分

由①②解得，由，即

又的方程爲，…………13分

令得，…………15分

所以恆過定點．…………16分

法二：設，

則由（Ⅱ）可知，方程爲

又點在上，所以…………12分

同理

所以的方程爲…………13分

由，得

所以恆過定點．…………16分

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題