已知是自然對數的底數,函數與的定義域都是.(1)求函數在點處的切線方程;(2)判斷函數零點個數;(3)用表示的...
問題詳情:
已知是自然對數的底數,函數與的定義域都是.
(1)求函數在點處的切線方程;
(2)判斷函數零點個數;
(3)用表示的最小值,設,,若函數在上爲增函數,求實數的取值範圍.
【回答】
【詳解】
(1)∵,∴切線的斜率,.
∴函數在點處的切線方程爲.……………………3分
(2)∵,,∴,,,……………………5分
∴存在零點,且.∵,
∴當時,;當時,由得
.∴在上是減函數.
∴若,,,則.∴函數只有一個零點,且.……………………8分
(3),故,……………9分
∵函數只有一個零點,∴,即.∴.
∴在爲增函數在,恆成立. ………………10分
當時,即在區間上恆成立.
設,只需,
,在單調遞減,在單調遞增.
的最小值,.
當時,,由上述得,則在恆成立. ……………………12分
綜上述,實數的取值範圍是.
知識點:導數及其應用
題型:解答題