設F是橢圓+=1(a>0,且a≠2)的一焦點,長爲3的線段AB的兩個端點在橢圓上移動.則當AF·BF取得最大值...
問題詳情:
設F是橢圓+=1(a>0,且a≠2)的一焦點,長爲3的線段AB的兩個端點在橢圓上移動.則當AF·BF取得最大值時,a的值是 .
【回答】
或.
【分析】當a>2時,設橢圓的另外一個焦點爲F′,聯結AF′,BF′.
則AF′+BF′≥|AB|=3.故AF+BF=4a-(AF′+BF′)≤4 a-3.
所以AF·BF≤()2≤()2.當且僅當線段AB過點F′,且AF=BF=時,
上式等號成立,此時,AB⊥x軸,且AB過點F′.於是
4c2=|FF′|2=()2-()2=4a2-6a,即c2=a2-a.
則a2=4+(a2-a),得a=.類似地,當0<a<2時,可得a=.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:填空題