如圖，已知⊙A的圓心爲點（3，0），拋物線y＝ax2﹣x+c過點A，與⊙A交於B、C兩點，連接AB、AC，且A...

問題詳情：

如圖，已知⊙A的圓心爲點（3，0），拋物線y＝ax2﹣x+c過點A，與⊙A交於B、C兩點，連接AB、AC，且AB⊥AC，B、C兩點的縱座標分別是2、1．

（1）請直接寫出點B的座標，並求a、c的值；

（2）直線y＝kx+1經過點B，與x軸交於點D．點E（與點D不重合）在該直線上，且AD＝AE，請判斷點E是否在此拋物線上，並說明理由；

（3）如果直線y＝k1x﹣1與⊙A相切，請直接寫出滿足此條件的直線解析式．

【回答】

【解答】解：（1）過點B、C分別作x軸的垂線交於點R、S，

∵∠BAR+∠RAB＝90°，∠RAB+∠CAS＝90°，

∴∠RAB＝∠CAR，又AB＝AC，

∴RtBRA△≌Rt△ASC（AAS），

∴AS＝BR＝2，AR＝CS＝1，

故點B、C的座標分別爲（2，2）、（5，1），

將點B、C座標代入拋物線y＝ax2﹣x+c並解得：

a＝，c＝11，

故拋物線的表達式爲：y＝x2﹣x+11；

（2）將點B座標代入y＝kx+1並解得：y＝x+1，則點D（﹣2，0），

點A、B、C、D的座標分別爲（3，0）、（2，2）、（5，1）、（﹣2，0），

則AB＝，AD＝5，

點E在直線BD上，則設E的座標爲（x，x+1），

∵AD＝AE，則52＝（3﹣x）2+（x+1）2，

解得：x＝﹣2或6（捨去﹣2），

故點E（6，4），

把x＝6代入y＝x2﹣x+11＝4，

故點E在拋物線上；

（3）①當切點在x軸下方時，

設直線y＝k1x﹣1與⊙A相切於點H，直線與x軸、y軸分別交於點K、G（0，﹣1），連接GA，

AH＝AB＝，GA＝，

∵∠AHK＝∠KOG＝90°，∠HKA＝∠HKA，∴△KOG∽△KHA，

∴，即：，

解得：KO＝2或﹣（捨去﹣），

故點K（﹣2，0），

把點K、G座標代入y＝k1x﹣1並解得：

直線的表達式爲：y＝﹣x﹣1；

②當切點在x軸上方時，

直線的表達式爲：y＝2x﹣1；

故滿足條件的直線解析式爲：y＝﹣x﹣1或y＝2x﹣1．

知識點：各地中考

題型：綜合題