已知橢圓C：(a＞b＞0)上任一點P到兩個焦點的距離的和爲2，P與橢圓長軸兩頂點連線的斜率之積爲－.設直線l過...

問題詳情：

已知橢圓C： (a＞b＞0)上任一點P到兩個焦點的距離的和爲2，P與橢圓長軸兩頂點連線的斜率之積爲－.設直線l過橢圓C的右焦點F，交橢圓C於兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)若 (O爲座標原點)，求|y1－y2|的值；

(2)當直線l與兩座標軸都不垂直時，在x軸上是否總存在點Q，使得直線QA，QB的傾斜角互爲補角？若存在，求出點Q座標；若不存在，請說明理由．

【回答】

又S△AOB＝|y1－y2|×1，故|y1－y2|＝4.(7分)

(2)假設存在一點Q(m,0)，使得直線QA，QB的傾斜角互爲補角，

依題意可知直線l斜率存在且不爲零，

直線l的方程爲y＝k(x－1)(k≠0)，

由消去y得(3k2＋2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，(9分)

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

∵直線QA，QB的傾斜角互爲補角，

∴kQA＋kQB＝0，

又y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，

代入上式可得2x1x2＋2m－(m＋1)(x1＋x2)＝0，

即2m－6＝0，∴m＝3，

∴存在Q(3,0)使得直線QA，QB的傾斜角互爲補角．(16分)

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題