定義：從數列{an}中取出部分項，並將它們按原來的順序組成一個數列，稱為數列{an}的一個子數列.設數列{an...
問題詳情：
定義：從數列{an}中取出部分項，並將它們按原來的順序組成一個數列，稱為數列{an}的一個子數列.設數列{an}是一個公差不為零的等差數列；
（1）已知a4＝6，自然數k1，k2，…，kt，…滿足4＜k1＜k2＜…＜kt＜…，
①若a2＝2，且a2，a4，ak1，ak2，…，akt，…是等比數列，求k2的值；
②若a2＝4，求*：數列a2，a4，ak1，ak2，…，akt，…不是等比數列.
（2）已知存在自然數k1，k2，…，kt，…，其中k1＜k2＜…＜kt＜…．若ak1，ak2，ak3，…，akt，…是{an}的一個等比子數列，若
＝m(m為正整數)，求kt的表示式.(*用k1，k2，m，t表示).
【回答】
（1）①設數列{an}的公差為d，因為a2＝2，a4＝6，所以2d＝4，d＝2，an＝a2＋(n－2)d＝2n－2，設無窮等比數列公比為q，q＝
＝3，所以ak2＝2×33＝2k2－2，故k2＝28.
②假設數列a2，a4，ak1，ak2，…，akt，…是無窮等比數列.則a2，a4，ak1成等比，a4，ak1，ak2成等比,所以a42＝a2×ak1得 ak1＝9, ak12＝a4×ak2得ak2＝
.因為2d＝a4－a2＝1，d＝1，an＝a2＋(n－2)d＝n＋2，所以ak2＝k2＋2＝
，k2＝
N* 這與k2為自然數矛盾.所以數列a2，a4，ak1，ak2，…，akt，…不是無窮等比數列.
（2）方法1 因為ak2－ak1＝(k2－k1)d＝(m－1)ak1，所以d＝
．
又ak1，ak2，ak3，…，akt，…是{an}的一個等比子數列，akt＝ak1mt-1＝ak1＋(kt－k1)d，
將d＝
代入，得mt-1＝1＋
，
解得kt=(k2-k1)×
＋k1．
方法2 因為ak1，ak2，ak3成等比數列，所以ak3＝
＝
×ak2＝[1＋
]×ak2＝ak2＋
×ak2，則(k3－k2)d＝(k2－k1)d×
，因為d不為零，
是正整數m，所以k3－k2＝(k2－k1)m，同理可得k4－k3＝(k3－k2)m，…，kt－kt－1＝(kt－1－kt－2)m(t≥3)，所以{kt－kt－1}(t≥2)是等比數列，則kt－kt－1＝(k2－k1)×mt－2(t≥2)，累加得kt－k1＝(k2－k1)×
，所以kt=(k2-k1)×
＋k1(t≥2)，易知當t＝1時，此式也成立，於是kt=(k2-k1)×＋k1．
【說明】本題主要探究了無窮等差數列中能有無窮等比子數列的條件問題，考查了等差數列等比數列的概念及基本量運算，通項公式的求法，反*法等等.考查了運算能力，推理論*能力和化歸思想.
知識點：數列
題型：解答題
