古希臘數學家畢達哥拉斯認為：“一切平面圖形中最美的是圓”．請研究如下美麗的圓．如圖，線段AB是⊙O的直徑，延長...

問題詳情：

古希臘數學家畢達哥拉斯認為：“一切平面圖形中最美的是圓”．請研究如下美麗的圓．如圖，線段AB是⊙O的直徑，延長AB至點C，使BC＝OB，點E是線段OB的中點，DE⊥AB交⊙O於點D，點P是⊙O上一動點（不與點A，B重合），連線CD，PE，PC．

（1）求*：CD是⊙O的切線；

（2）小明在研究的過程中發現是一個確定的值．回答這個確定的值是多少？並對小明發現的結論加以*．

【回答】

解：（1）連線OD、DB，

∵點E是線段OB的中點，DE⊥AB交⊙O於點D，

∴DE垂直平分OB，

∴DB＝DO．

∵在⊙O中，DO＝OB，

∴DB＝DO＝OB，

∴△ODB是等邊三角形，

∴∠BDO＝∠DBO＝60°，

∵BC＝OB＝BD，且∠DBE為△BDC的外角，

∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO．

∵∠DBO＝60°，

∴∠CDB＝30°．

∴∠ODC＝∠BDO+∠BDC＝60°+30°＝90°，

∴CD是⊙O的切線；

（2）答：這個確定的值是．

連線OP，如圖：

由已知可得：OP＝OB＝BC＝2OE．

∴＝＝，

又∵∠COP＝∠POE，

∴△OEP∽△OPC，

∴＝＝．

【分析】（1）連線OD、DB，由已知可知DE垂直平分OB，則DB＝DO，再由圓的半徑相等，可得DB＝DO＝OB，即△ODB是等邊三角形，則∠BDO＝60°，再由等腰三角形的*質及三角形的外角*質可得∠CDB＝30°，從而可得∠ODC＝90°，按照切線的判定定理可得結論；

（2）連線OP，先由已知條件得OP＝OB＝BC＝2OE，再利用兩組邊成比例，夾角相等來*△OEP∽△OPC，按照相似三角形的*質得出比例式，則可得*．

知識點：各地會考

題型：解答題