如圖，在中，，M是的中點，點D在上，，，垂足分別為E，F，連線．則下列結論中：①；②；③；④；⑤若平分，則；⑥...
問題詳情：
如圖，在
中，
，M是
的中點，點D在
上，
，
，垂足分別為E，F，連線
．則下列結論中：①
；②
；③
；④
；⑤若
平分
，則
；⑥
，正確的有___________．（只填序號）
【回答】
①②③④⑤⑥
【解析】
*△BCF≌△CAE，得到BF=CE，可判斷①；再*△BFM≌△CEM，從而判斷△EMF為等腰直角三角形，得到EF=
EM，可判斷③，同時得到∠MEF=∠MFE=45°，可判斷②；再*△DFM≌△NEM，得到△DMN為等腰直角三角形，得到DN=
DM，可判斷④；根據角平分線的定義可逐步推斷出DE=EM，再*△ADE≌△ACE，得到DE=CE，則有
，從而判斷⑤；最後*△CDM∽ADE，得到
，結合BM=CM，AE=CF，可判斷⑥.
【詳解】
解：∵∠ACB=90°，
∴∠BCF+∠ACE=90°，
∵∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
又∵∠BFD=90°=∠AEC，AC=BC，
∴△BCF≌△CAE（AAS），
∴BF=CE，故①正確；
由全等可得：AE=CF，BF=CE，
∴AE-CE=CF=CE=EF，連線FM，CM，
∵點M是AB中點，
∴CM=
AB=BM=AM，CM⊥AB，
在△BDF和△CDM中，∠BFD=∠CMD，∠BDF=∠CDM，
∴∠DBF=∠DCM，又BM=CM，BF=CE，
∴△BFM≌△CEM，
∴FM=EM，∠BMF=∠CME，
∵∠BMC=90°，
∴∠EMF=90°，即△EMF為等腰直角三角形，
∴EF=
EM=
，故③正確，
∠MEF=∠MFE=45°，∵∠AEC=90°，
∴∠MEF=∠AEM=45°，故②正確，
設AE與CM交於點N，連線DN，
∵∠DMF=∠NME，FM=EM，∠DFM=∠DEM=∠AEM=45°，
∴△DFM≌△NEM，
∴DF=EN，DM=MN，
∴△DMN為等腰直角三角形，
∴DN=
DM，而∠DEA=90°，
∴
，故④正確；
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=45°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE=∠CAE=22.5°，∠ADE=67.5°，
∵∠DEM=45°，
∴∠EMD=67.5°，即DE=EM，
∵AE=AE，∠AED=∠AEC，∠DAE=∠CAE，
∴△ADE≌△ACE，
∴DE=CE，
∵△MEF為等腰直角三角形，
∴EF=
，
∴
，故⑤正確；
∵∠CDM=∠ADE，∠CMD=∠AED=90°，
∴△CDM∽ADE，
∴
，
∵BM=CM，AE=CF，
∴
，
∴
，故⑥正確；
故*為：①②③④⑤⑥.
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定和*質，相似三角形的判定和*質，等腰直角三角形的判定和*質，等量代換，難度較大，解題的關鍵是新增輔助線，找到全等三角形說明角相等和線段相等.
知識點：相似三角形
題型：填空題
