如圖1,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交於A,B兩點,與y軸交於點C,AB=4,矩形OBDC的邊CD=1,延...
問題詳情:
如圖1,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交於A,B兩點,與y軸交於點C,AB=4,矩形OBDC的邊CD=1,延長DC交拋物線於點E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖2,點P是直線EO上方拋物線上的一個動點,過點P作y軸的平行線交直線EO於點G,作PH⊥EO,垂足為H.設PH的長為l,點P的橫座標為m,求l與m的函式關係式(不必寫出m的取值範圍),並求出l的最大值;
(3)如果點N是拋物線對稱軸上的一點,拋物線上是否存在點M,使得以M,A,C,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出所有滿足條件的點M的座標;若不存在,請說明理由.
【回答】
解:
(1)∵矩形OBDC的邊CD=1,
∴OB=1,
∵AB=4,
∴OA=3,
∴A(﹣3,0),B(1,0),
把A、B兩點座標代入拋物線解析式可得,解得,
∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2
(2)在y=﹣x2﹣x+2中,令y=2可得2=﹣x2﹣x+2,解得x=0或x=﹣2,
∴E(﹣2,2),
∴直線OE解析式為y=﹣x,
由題意可得P(m,﹣m2﹣m+2),
∵PG∥y軸,
∴G(m,﹣m),
∵P在直線OE的上方,
∴PG=﹣m2﹣m+2﹣(﹣m)=﹣m2﹣m+2=﹣(m+)2+,
∵直線OE解析式為y=﹣x,
∴∠PGH=∠COE=45°,
∴l=PG= [﹣(m+)2+]=﹣(m+)2+,
∴當m=﹣時,l有最大值,最大值為;
(3)①當AC為平行四邊形的邊時,則有MN∥AC,且MN=AC,如圖,過M作對稱軸的垂線,垂足為F,設AC交對稱軸於點L,
則∠ALF=∠ACO=∠FNM,
在△MFN和△AOC中
∴△MFN≌△AOC(AAS),
∴MF=AO=3,
∴點M到對稱軸的距離為3,
又y=﹣x2﹣x+2,
∴拋物線對稱軸為x=﹣1,
設M點座標為(x,y),則|x+1|=3,解得x=2或x=﹣4,
當x=2時,y=﹣,當x=﹣4時,y=,
∴M點座標為(2,﹣)或(﹣4,﹣);
②當AC為對角線時,設AC的中點為K,
∵A(﹣3,0),C(0,2),
∴K(﹣,1),
∵點N在對稱軸上,
∴點N的橫座標為﹣1,
設M點橫座標為x,
∴x+(﹣1)=2×(﹣)=﹣3,解得x=﹣2,此時y=2,
∴M(﹣2,2);
綜上可知點M的座標為(2,﹣)或(﹣4,﹣)或(﹣2,2).
【點評】本題為二次函式的綜合應用,涉及待定係數法、二次函式的*質、等腰直角三角形的*質、全等三角形的判定和*質、平行四邊形的判定和*質、方程思想及分類討論思想等知識.在(1)中求得A、B的座標是解題的關鍵,在(2)中確定出PG與l的關係是解題的關鍵,在(3)中確定出M的位置是解題的關鍵.本題考查知識點較多,綜合*較強,難度適中.
知識點:二次函式與一元二次方程
題型:解答題