已知圓心為C的圓，滿足下列條件：圓心C位於x軸正半軸上，圓C與直線3x－4y＋7＝0相切，且被y軸截得的弦長為...

問題詳情：

已知圓心為C的圓，滿足下列條件：圓心C位於x軸正半軸上，圓C與直線3x－4y＋7＝0相切，且被y軸截得的弦長為2，圓C的面積小於13．

(1)求圓C的標準方程；

(2)設過點M(0，3)的直線l與圓C交於不同的兩點A，B，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OADB．是否存在這樣的直線l，使得直線OD與MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，請說明理由．

【回答】

解：(1)設圓C的標準方程為(x－a)2＋y2＝r2(a>0)，由題意知

解得

又因為S＝πr2<13，

所以a＝1，r＝2，

所以圓C的標準方程為(x－1)2＋y2＝4．

(2)不存在這樣的直線l．

理由如下：當斜率不存在時，直線l為x＝0，不滿足題意．

當斜率存在時，設直線l：y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6＝0，

因為l與圓C相交於不同的兩點，

所以Δ＝(6k－2)2－24(1＋k2)＝12k2－24k－20>0，

所以假設不成立．

不存在這樣的直線l．

知識點：圓與方程

題型：解答題