定義在封閉的平面區域內任意兩點的距離的最大值稱為平面區域的“直徑”.已知銳角三角形的三個頂點在半徑為1的圓上，...
問題詳情：
定義在封閉的平面區域
內任意兩點的距離的最大值稱為平面區域
的“直徑”.已知銳角三角形的三個頂點
在半徑為1的圓上，且
，分別以
各邊為直徑向外作三個半圓，這三個半圓和
構成平面區域
，則平面區域
的“直徑”的最大值是__________．
【回答】
【解析】
【分析】
畫出幾何圖形，運用邊的關係轉化為求
周長的最值，結合正餘弦定理及基本不等式求解即可.
【詳解】設三個半圓圓心分別為G,F，E，半徑分別為
M,P,N分別為半圓上的動點，則PM≤
+GF= 
+
=
，若且唯若M,G,F,P共線時取等；同理：PN ≤
MN≤
,又
外接圓半徑為1，
，所以
,∴BC=a=2sin
=
,由余弦定理
解b+c≤2
,若且唯若b=c=
取等；故
故*為
【點睛】本題考查正餘弦定理，基本不等式，善於運用數形結合思想運用幾何關係轉化問題是關鍵，是難題.
知識點：解三角形
題型：填空題
